একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ কিভাবে গ্রাফ করবেন: 10 টি ধাপ (ছবি সহ)

2024 লেখক: Robert Blare | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-02-02 02:06

যখন গ্রাফ করা হয়, ফর্মের চতুর্ভুজ সমীকরণ কুড়াল² + bx + c অথবা a (x - h)² + কে একটি মসৃণ U- আকৃতির বা একটি বিপরীত U- আকৃতির বক্ররেখা দিন যাকে বলা হয় প্যারাবোলা। একটি চতুর্ভুজ সমীকরণকে গ্রাফ করা তার শীর্ষবিন্দু, দিক এবং প্রায়শই এর x এবং y অন্তরকল্প খুঁজে বের করার বিষয়। অপেক্ষাকৃত সহজ চতুর্ভুজ সমীকরণের ক্ষেত্রে, এটি x মানগুলির একটি পরিসরে প্লাগ করতে এবং ফলিত পয়েন্টগুলির উপর ভিত্তি করে একটি বক্ররেখা তৈরি করতেও যথেষ্ট হতে পারে। শুরু করতে নীচের ধাপ 1 দেখুন।

ধাপ

ধাপ 1. আপনার কোন চতুর্ভুজ সমীকরণের রূপ নির্ধারণ করুন।

চতুর্ভুজ সমীকরণটি তিনটি ভিন্ন আকারে লেখা যেতে পারে: প্রমিত রূপ, শীর্ষবিন্দু এবং চতুর্ভুজ রূপ। আপনি একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ গ্রাফ করতে ফর্ম ব্যবহার করতে পারেন; প্রতিটি গ্রাফ করার প্রক্রিয়াটি একটু ভিন্ন। যদি আপনি একটি হোমওয়ার্ক সমস্যা করছেন, আপনি সাধারণত এই দুটি ফর্মের একটিতে সমস্যাটি পাবেন - অন্য কথায়, আপনি চয়ন করতে পারবেন না, তাই উভয়টি বোঝা ভাল। চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি রূপ হল:

• মান ফর্ম.

  এই আকারে, চতুর্ভুজ সমীকরণটি এভাবে লেখা হয়: f (x) = ax² + bx + c যেখানে a, b, এবং c প্রকৃত সংখ্যা এবং a শূন্যের সমান নয়।

  উদাহরণস্বরূপ, দুটি আদর্শ ফর্ম চতুর্ভুজ সমীকরণ হল f (x) = x² + 2x + 1 এবং f (x) = 9x² + 10x -8।

• শিরোনাম ফর্ম।

  এই আকারে, চতুর্ভুজ সমীকরণটি এভাবে লেখা হয়: f (x) = a (x - h)² + k যেখানে a, h, এবং k প্রকৃত সংখ্যা এবং a শূন্যের সমান নয়। শিরোনাম ফর্মটির নামকরণ করা হয়েছে কারণ h এবং k আপনাকে সরাসরি আপনার প্যারাবোলার শীর্ষ (কেন্দ্রীয় বিন্দু) বিন্দুতে (h, k) দেয়।

  দুটি শিরোনাম ফর্ম সমীকরণ হল f (x) = 9 (x - 4)² + 18 এবং -3 (x - 5)² + 1

• এই ধরনের সমীকরণের যেকোনো একটি গ্রাফ করার জন্য, আমাদের প্রথমে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু খুঁজে বের করতে হবে, যা বক্ররেখার "ডগায়" কেন্দ্রীয় বিন্দু (h, k)। স্ট্যান্ডার্ড আকারে শিরোনামের স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়: h = -b/2a এবং k = f (h), যখন ভারটেক্স আকারে, h এবং k সমীকরণে নির্দিষ্ট করা হয়।

ধাপ 2. আপনার ভেরিয়েবল সংজ্ঞায়িত করুন।

একটি চতুর্ভুজ সমস্যা সমাধান করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, ভেরিয়েবল a, b, এবং c (অথবা a, h, এবং k) সাধারণত সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন। একটি গড় বীজগণিত সমস্যা আপনাকে ভেরিয়েবলের সাথে একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ দেবে, সাধারণত প্রমিত আকারে, কিন্তু কখনও কখনও শীর্ষবিন্দু আকারে।

• উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম সমীকরণের জন্য f (x) = 2x² + 16x + 39, আমাদের a = 2, b = 16 এবং c = 39 আছে।
• শিরোনাম ফর্ম সমীকরণের জন্য f (x) = 4 (x - 5)² + 12, আমাদের a = 4, h = 5, এবং k = 12 আছে।

ধাপ 3. গণনা জ।

শিরোনাম ফর্ম সমীকরণগুলিতে, h এর জন্য আপনার মান ইতিমধ্যেই দেওয়া হয়েছে, কিন্তু স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম সমীকরণে, এটি গণনা করা আবশ্যক। মনে রাখবেন, স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম সমীকরণের জন্য, h = -b/2a।

• আমাদের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম উদাহরণে (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2)। সমাধান করে, আমরা খুঁজে পাই যে h = - 4.
• আমাদের শিরোনাম ফর্ম উদাহরণে (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), আমরা কোন গণিত না করে h = 5 জানি।

ধাপ 4. গণনা k।

H এর মতো, k ইতিমধ্যেই শিরোনাম ফর্ম সমীকরণে পরিচিত। স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম সমীকরণের জন্য, মনে রাখবেন যে k = f (h)। অন্য কথায়, আপনি আপনার সমীকরণে x এর প্রতিটি দৃষ্টান্ত প্রতিস্থাপন করে k খুঁজে পেতে পারেন যা আপনি h এর জন্য পেয়েছেন।

• আমরা আমাদের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম উদাহরণে নির্ধারণ করেছি যে h = -4। K খুঁজে পেতে, আমরা x এর পরিবর্তে h এর মান দিয়ে আমাদের সমীকরণ সমাধান করি:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39।

  • k = 32 - 64 + 39 =

    ধাপ 7।

• আমাদের শিরোনাম ফর্ম উদাহরণে, আবার, আমরা কোন গণিত না করেই k (যা 12) এর মান জানি।

ধাপ 5. আপনার শীর্ষবিন্দু প্লট।

আপনার প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু হবে বিন্দু (h, k) - h x কোঅর্ডিনেট নির্দিষ্ট করে, যখন k y কোঅর্ডিনেট নির্দিষ্ট করে। শিরোনাম হল আপনার প্যারাবোলার কেন্দ্রীয় বিন্দু - হয় "U" এর একেবারে নীচে অথবা উল্টো "U" এর একেবারে উপরে। শিরোনাম জানা একটি সঠিক প্যারাবোলা গ্রাফিংয়ের একটি অপরিহার্য অংশ - প্রায়শই, স্কুলের কাজে, শিরোনাম নির্দিষ্ট করা একটি প্রশ্নের একটি প্রয়োজনীয় অংশ হবে।

• আমাদের আদর্শ ফর্ম উদাহরণে, আমাদের শীর্ষবিন্দু হবে (-4, 7)। সুতরাং, আমাদের প্যারাবোলা 0 এর বাম দিকে 4 টি স্পেস এবং 7 টি স্পেস উপরে (0, 0) হবে। আমাদের গ্রাফে এই বিন্দুটি চক্রান্ত করা উচিত, স্থানাঙ্ক লেবেল নিশ্চিত করা।
• আমাদের শিরোনাম ফর্ম উদাহরণে, আমাদের শীর্ষবিন্দু (5, 12) এ আছে। আমাদের ডানদিকে 5 বিন্দু এবং উপরে 12 টি স্থান (0, 0) প্লট করা উচিত।

ধাপ 6. প্যারাবোলার অক্ষ (alচ্ছিক) আঁকুন।

একটি প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের অক্ষ হল তার মধ্য দিয়ে প্রবাহিত রেখা যা এটিকে অর্ধেকের মধ্যে পুরোপুরি বিভক্ত করে। এই অক্ষ জুড়ে, প্যারাবোলার বাম দিকটি ডান দিকটি আয়না করবে। ফর্ম কুঠারের চতুর্ভুজের জন্য² + bx + c অথবা a (x - h)² + k, অক্ষ হল y- অক্ষের সমান্তরাল একটি রেখা (অন্য কথায়, পুরোপুরি উল্লম্ব) এবং শীর্ষবিন্দু দিয়ে যাওয়া।

আমাদের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম উদাহরণের ক্ষেত্রে, অক্ষ হল y- অক্ষের সমান্তরাল এবং বিন্দু (-4, 7) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি রেখা। যদিও এটি নিজেই প্যারাবোলার অংশ নয়, আপনার গ্রাফে এই লাইনটি হালকাভাবে চিহ্নিত করা অবশেষে আপনাকে দেখতে সাহায্য করবে কিভাবে প্যারাবোলা সমান্তরালভাবে বাঁকছে।

ধাপ 7. খোলার দিক খুঁজুন।

প্যারাবোলার শিরোনাম এবং অক্ষ বের করার পরে, আমাদের পরবর্তীতে জানতে হবে যে প্যারাবোলাটি উপরের দিকে বা নীচের দিকে খোলে কিনা। ভাগ্যক্রমে, এটি সহজ। যদি "a" ইতিবাচক হয়, প্যারাবোলা উপরের দিকে খুলবে, এবং যদি "a" নেতিবাচক হয়, তাহলে প্যারাবোলা নীচের দিকে খুলবে (যেমন, এটি উল্টানো হবে।)

• আমাদের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম উদাহরণের জন্য (f (x) = 2x² + 16x + 39), আমরা জানি যে আমাদের একটি প্যারাবোলা উপরের দিকে খোলা আছে কারণ, আমাদের সমীকরণে, a = 2 (ধনাত্মক)।
• আমাদের শিরোনাম ফর্ম উদাহরণের জন্য (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), আমরা জানি যে আমাদেরও একটি প্যারাবোলা উপরের দিকে খোলা আছে কারণ a = 4 (ধনাত্মক)।

ধাপ 8. প্রয়োজনে x ইন্টারসেপ্টগুলি খুঁজে বের করুন এবং প্লট করুন।

প্রায়শই, স্কুলের কাজে, আপনাকে একটি প্যারাবোলার এক্স-ইন্টারসেপ্টগুলি খুঁজে পেতে বলা হবে (যা এক বা দুটি পয়েন্ট যেখানে প্যারাবোলা এক্স অক্ষের সাথে মিলিত হয়)। এমনকি যদি আপনি তাদের খুঁজে না পান, এই দুটি পয়েন্ট একটি সঠিক প্যারাবোলা আঁকার জন্য অমূল্য হতে পারে। যাইহোক, সব প্যারাবোলার এক্স-ইন্টারসেপ্ট নেই। যদি আপনার প্যারাবোলার একটি শিরোনাম উপরের দিকে খোলে এবং x অক্ষের উপরে একটি শিরোনাম থাকে বা যদি এটি নীচের দিকে খোলে এবং x অক্ষের নীচে একটি শীর্ষবিন্দু থাকে, এতে কোন এক্স ইন্টারসেপ্ট থাকবে না । অন্যথায়, নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি দিয়ে আপনার x ইন্টারসেপ্টগুলির সমাধান করুন:

• শুধু f (x) = 0 সেট করুন এবং সমীকরণটি সমাধান করুন। এই পদ্ধতিটি সহজ চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য কাজ করতে পারে, বিশেষ করে শিরোনাম আকারে, কিন্তু আরো জটিলদের জন্য অত্যন্ত কঠিন প্রমাণিত হবে। একটি উদাহরণ জন্য নিচে দেখুন

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12। x = 11 এবং 13 প্যারাবোলার এক্স-ইন্টারসেপ্টস।

• আপনার সমীকরণটি ফ্যাক্টর করুন। কুড়ালে কিছু সমীকরণ² + bx + c ফর্মটি সহজেই ফর্ম (dx + e) (fx + g), যেখানে dx × fx = ax², (dx -g + fx -e) = bx, এবং e -g = c। এই ক্ষেত্রে, আপনার x ইন্টারসেপ্টগুলি হল x এর মান যা বন্ধনী = 0. এ কোন পদ তৈরি করে। উদাহরণস্বরূপ:

  • এক্স² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • এই ক্ষেত্রে, আপনার একমাত্র x ইন্টারসেপ্ট হল -1 কারণ x- -1 এর সাথে সেটিং করলে বন্ধনীর ফ্যাক্টরেড পদগুলির মধ্যে কোনটি 0 হবে।

• চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করুন। যদি আপনি সহজেই আপনার x ইন্টারসেপ্টের সমাধান করতে না পারেন বা আপনার সমীকরণকে ফ্যাক্টর করতে না পারেন, তবে এই বিশেষ উদ্দেশ্যে পরিকল্পিত চতুর্ভুজ সূত্র নামে একটি বিশেষ সমীকরণ ব্যবহার করুন। যদি এটি ইতিমধ্যে না হয়, তাহলে আপনার সমীকরণটি ফর্ম অক্ষের মধ্যে নিন² + bx + c, তারপর a, b, এবং c সূত্রটি x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a। লক্ষ্য করুন যে এটি প্রায়শই আপনাকে x এর জন্য দুটি উত্তর দেয়, যা ঠিক আছে - এর অর্থ হল আপনার প্যারাবোলার দুটি x ইন্টারসেপ্ট রয়েছে। একটি উদাহরণ জন্য নিচে দেখুন:

  • -5x² + 1x + 10 নিম্নরূপ চতুর্ভুজ সূত্রে প্লাগ করা হয়:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) এবং (-15.18/-10)। প্যারাবোলার এক্স ইন্টারসেপ্টগুলি প্রায় x = - 1.318 এবং 1.518
  • আমাদের আগের স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম উদাহরণ, 2x² + 16x + 39 নিম্নরূপ চতুর্ভুজ সূত্রে প্লাগ করা হয়:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • কারণ aণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বের করা অসম্ভব, আমরা তা জানি কোন এক্স intercepts এই বিশেষ প্যারাবোলার জন্য বিদ্যমান।

ধাপ 9. প্রয়োজনে, ওয়াই ইন্টারসেপ্ট খুঁজুন এবং চক্রান্ত করুন।

যদিও সমীকরণের ওয়াই ইন্টারসেপ্ট (যে বিন্দুতে প্যারাবোলা y অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়) খুঁজে বের করতে প্রায়ই প্রয়োজন হয় না, শেষ পর্যন্ত আপনার প্রয়োজন হতে পারে, বিশেষ করে যদি আপনি স্কুলে থাকেন। এই প্রক্রিয়াটি মোটামুটি সহজ - শুধু x = 0 সেট করুন, তারপর f (x) বা y এর জন্য আপনার সমীকরণটি সমাধান করুন, যা আপনাকে y মান দেয় যেখানে আপনার প্যারাবোলা y অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়। এক্স ইন্টারসেপ্টের বিপরীতে, স্ট্যান্ডার্ড প্যারাবোলাসে কেবল একটি ওয়াই ইন্টারসেপ্ট থাকতে পারে। নোট - স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম সমীকরণের জন্য, y ইন্টারসেপ্ট y = c এ।

• উদাহরণস্বরূপ, আমরা আমাদের চতুর্ভুজ সমীকরণ 2x জানি² + 16x + 39 এর y = 39 এ একটি y ইন্টারসেপ্ট আছে, কিন্তু এটি নিম্নরূপ পাওয়া যাবে:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. প্যারাবোলার y ইন্টারসেপ্ট এ আছে y = 39।

    উপরে উল্লিখিত হিসাবে, y বাধা y = c এ।

• আমাদের শিরোনাম ফর্ম সমীকরণ 4 (x - 5)² + 12 এর একটি y ইন্টারসেপ্ট রয়েছে যা নিম্নরূপ পাওয়া যাবে:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. প্যারাবোলার y ইন্টারসেপ্ট এ আছে y = 112।

ধাপ 10. প্রয়োজনে, অতিরিক্ত পয়েন্ট প্লট, তারপর গ্রাফ।

আপনার সমীকরণের জন্য এখন আপনার একটি শিরোনাম, দিক, x ইন্টারসেপ্ট (গুলি) এবং সম্ভবত একটি y ইন্টারসেপ্ট থাকা উচিত। এই মুহুর্তে, আপনি একটি নির্দেশিকা হিসাবে আপনার পয়েন্টগুলি ব্যবহার করে আপনার প্যারাবোলা আঁকার চেষ্টা করতে পারেন, অথবা আপনি আপনার প্যারাবোলাটি "পূরণ" করার জন্য আরও পয়েন্ট খুঁজে পেতে পারেন যাতে আপনার আঁকা বাঁকটি আরও সঠিক হয়। এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল আপনার শিরোনামের উভয় পাশে কয়েকটি x মান প্লাগ করা, তারপর আপনার প্রাপ্ত y মানগুলি ব্যবহার করে এই পয়েন্টগুলি চক্রান্ত করুন। প্রায়শই, শিক্ষকরা আপনার প্যারাবোলা আঁকার আগে আপনাকে নির্দিষ্ট সংখ্যক পয়েন্ট পেতে হবে।

• আসুন x সমীকরণটি পুনর্বিবেচনা করি² + 2x + 1. আমরা ইতিমধ্যে জানি যে এর একমাত্র x ইন্টারসেপ্ট x = -1 এ আছে। যেহেতু এটি শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে x ইন্টারসেপ্ট স্পর্শ করে, আমরা অনুমান করতে পারি যে এর শীর্ষবিন্দু হল তার x ইন্টারসেপ্ট, যার অর্থ হল এর শীর্ষবিন্দু (-1, 0)। এই প্যারাবোলার জন্য আমাদের কার্যকরভাবে শুধুমাত্র একটি পয়েন্ট আছে - একটি ভাল প্যারাবোলা আঁকার জন্য প্রায় যথেষ্ট নয়। আসুন আমরা একটি সঠিক গ্রাফ আঁকা নিশ্চিত করতে আরও কয়েকটি খুঁজে বের করি।

  • নিচের x মানগুলির জন্য y মানগুলি খুঁজে বের করা যাক: 0, 1, -2, এবং -3।
  • 0 এর জন্য: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. আমাদের পয়েন্ট হল (0, 1).

  • 1 এর জন্য: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. আমাদের পয়েন্ট হল (1, 4).

  • -2 এর জন্য: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. আমাদের পয়েন্ট হল (-2, 1).

  • -3 এর জন্য: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. আমাদের পয়েন্ট হল (-3, 4).

  • এই পয়েন্টগুলিকে গ্রাফে প্লট করুন এবং আপনার U- আকৃতির বক্ররেখা আঁকুন। লক্ষ্য করুন যে প্যারাবোলাটি পুরোপুরি প্রতিসম - যখন প্যারাবোলার একপাশে আপনার পয়েন্টগুলি পুরো সংখ্যায় থাকে, আপনি সাধারণত প্যারাবোলার সমান্তরাল অক্ষ জুড়ে একটি প্রদত্ত বিন্দুকে প্রতিফলিত করে অন্য কাজ করতে পারেন। প্যারাবোলার।

ভিডিও - এই পরিষেবাটি ব্যবহার করে, কিছু তথ্য ইউটিউবের সাথে শেয়ার করা যেতে পারে।

পরামর্শ

• মনে রাখবেন f (x) = ax² + bx + c, যদি b বা c সমান শূন্য হয়, সেই সংখ্যাগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, 12x² + 0x + 6 হয়ে যায় 12x² + 6 কারণ 0x হল 0।
• বৃত্তাকার সংখ্যা বা ভগ্নাংশ ব্যবহার করুন যেমন আপনার বীজগণিত শিক্ষক আপনাকে বলে। এটি আপনাকে আপনার চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সঠিকভাবে গ্রাফ করতে সাহায্য করবে।