একটি প্যারাবোলা একটি চতুর্ভুজ ফাংশনের একটি গ্রাফ এবং এটি একটি মসৃণ "U" আকৃতির বক্ররেখা। প্যারাবোলাসগুলিও প্রতিসাম্য যার অর্থ হল তারা একটি রেখা বরাবর ভাঁজ করা যায় যাতে ভাঁজ লাইনের একপাশের সমস্ত বিন্দু ভাঁজ লাইনের অন্য পাশে সংশ্লিষ্ট পয়েন্টগুলির সাথে মিলে যায়। ভাঁজ রেখা, যাকে প্রতিসাম্যের অক্ষ বলা হয়, উল্লম্ব রেখা যা ভেরেক্সের মধ্য দিয়ে যায়। প্যারাবোলার যেকোনো বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (ফোকাস) এবং একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা (ডাইরেক্ট্রিক্স) থেকে সমতুল্য। একটি প্যারাবোলা গ্রাফ করার জন্য, পয়েন্টগুলি যে পথটি ভ্রমণ করে তা চিহ্নিত করার জন্য আপনাকে এর শীর্ষবিন্দু পাশাপাশি শীর্ষবিন্দুর উভয় পাশে বেশ কয়েকটি পয়েন্ট খুঁজে বের করতে হবে।
ধাপ
2 এর 1 ম অংশ: একটি প্যারাবোলা গ্রাফিং
ধাপ 1. একটি প্যারাবোলার অংশগুলি বুঝুন।
শুরু করার আগে আপনাকে কিছু তথ্য দেওয়া হতে পারে, এবং পরিভাষা জানা আপনাকে কোন অপ্রয়োজনীয় পদক্ষেপ এড়াতে সাহায্য করবে। এখানে প্যারাবোলার অংশগুলি যা আপনাকে জানতে হবে:
- লক্ষ্য. প্যারাবোলার অভ্যন্তরের একটি নির্দিষ্ট বিন্দু যা বক্ররেখার আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞার জন্য ব্যবহৃত হয়।
- ডাইরেক্ট্রিক্স। একটি নির্দিষ্ট, সরলরেখা। প্যারাবোলা হল পয়েন্টের লোকস (সিরিজ) যেখানে কোন প্রদত্ত বিন্দু ফোকাস এবং ডাইরেক্ট্রিক্স থেকে সমান দূরত্বে থাকে। (উপরের চিত্রটি দেখুন।)
- প্রতিসাম্যের অক্ষ। এটি একটি সরলরেখা যা প্যারাবোলার টার্নিং পয়েন্ট ("ভারটেক্স") এর মধ্য দিয়ে যায় এবং প্যারাবোলার দুই বাহুতে সংশ্লিষ্ট পয়েন্ট থেকে সমান দূরত্বে থাকে।
- শিরোনাম। সমান্তরাল অক্ষ প্যারাবোলা অতিক্রম করে এমন বিন্দুকে প্যারাবোলার শিরোনাম বলে। যদি প্যারাবোলা upর্ধ্বমুখী বা ডানদিকে খোলে, শিরোনামটি বক্ররেখার সর্বনিম্ন বিন্দু। যদি এটি নিচের দিকে বা বাম দিকে খোলে, শিরোনাম একটি সর্বোচ্চ বিন্দু।
পদক্ষেপ 2. একটি প্যারাবোলার সমীকরণ জানুন।
একটি প্যারাবোলার সাধারণ সমীকরণ হল y = ax2+ bx + c। এটি আরও সাধারণ ফর্ম y = a (x - h) ² + k তেও লেখা যেতে পারে, কিন্তু আমরা এখানে সমীকরণের প্রথম রূপের দিকে মনোনিবেশ করব।
- যদি সমীকরণে a এর সহগ ধনাত্মক হয়, তাহলে প্যারাবোলাটি "U" অক্ষরের মতো উপরের দিকে (উল্লম্বমুখী প্যারাবোলায়) খোলে এবং এর শীর্ষবিন্দু একটি সর্বনিম্ন বিন্দু। যদি a negativeণাত্মক হয়, প্যারাবোলা নিচের দিকে খোলে এবং এর সর্বোচ্চ বিন্দুতে একটি শিরোনাম থাকে। আপনার যদি এটি মনে রাখতে সমস্যা হয়, তাহলে এটিকে এভাবে ভাবুন: একটি ধনাত্মক মানের একটি সমীকরণ একটি হাসির মতো দেখায়; একটি aণাত্মক মান সহ একটি সমীকরণ একটি ভ্রূণ মত দেখায়।
- ধরুন আপনার নিম্নলিখিত সমীকরণ আছে: y = 2x2 -1। এই প্যারাবোলাটি "U" এর মতো হবে কারণ একটি মান (2) ইতিবাচক।
- যদি সমীকরণটি একটি বর্গাকার x শব্দের পরিবর্তে একটি বর্গাকার y শব্দ থাকে, তাহলে প্যারাবোলাটি "C" বা একটি পশ্চাদপদ "C" এর মত, ডান বা বাম দিকে অনুভূমিক এবং খোলা থাকবে। উদাহরণস্বরূপ, প্যারাবোলা ওয়াই2 = x + 3 ডানদিকে খোলে, যেমন "সি"
ধাপ 3. প্রতিসাম্যের অক্ষ খুঁজুন।
মনে রাখবেন যে প্রতিসাম্যের অক্ষ হল সরলরেখা যা প্যারাবোলার বাঁক (শিরোনাম) দিয়ে যায়। একটি উল্লম্ব প্যারাবোলার ক্ষেত্রে (খোলা বা নিচে), অক্ষটি শিরোনামের x স্থানাঙ্কের সমান, যা বিন্দুর x- মান যেখানে সমান্তরাল অক্ষ প্যারাবোলা অতিক্রম করে। প্রতিসাম্যের অক্ষ খুঁজে পেতে, এই সূত্রটি ব্যবহার করুন: x = -b/2a।
- উপরের উদাহরণে (y = 2x² -1), a = 2 এবং b = 0. এখন আপনি সংখ্যার মধ্যে প্লাগিং করে প্রতিসাম্যের অক্ষ গণনা করতে পারেন: x = -0 / (2) (2) = 0।
- এই ক্ষেত্রে প্রতিসাম্যের অক্ষ x = 0 (যা স্থানাঙ্ক সমতলের y- অক্ষ)।
ধাপ 4. শীর্ষবিন্দু খুঁজুন
একবার আপনি প্রতিসাম্যের অক্ষটি জানার পরে, আপনি y মানটি পেতে x এর জন্য সেই মানটি প্লাগ করতে পারেন। এই দুটি স্থানাঙ্ক আপনাকে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু দেবে। এই ক্ষেত্রে, আপনি 0 কে 2x এ প্লাগ করবেন2 -1 y কোঅর্ডিনেট পেতে। y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1। শীর্ষবিন্দু হল (0, -1), এবং প্যারাবোলা -1 এ y- অক্ষ অতিক্রম করে।
শিরোনামের স্থানাঙ্ক কখনও কখনও (h, k) নামে পরিচিত। এই ক্ষেত্রে h হল 0, এবং k হল -1। প্যারাবোলার সমীকরণ y = a (x - h) ² + k আকারে লেখা যেতে পারে। এই ফর্মটিতে শিরোনাম হল বিন্দু (h, k), এবং গ্রাফটি সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করার বাইরে শিরোনামটি খুঁজে পেতে আপনাকে কোন গণিত করতে হবে না।
ধাপ 5. x এর নির্বাচিত মান সহ একটি টেবিল সেট করুন।
প্রথম কলামে x এর নির্দিষ্ট মান সহ একটি টেবিল তৈরি করুন। এই টেবিলটি আপনাকে সমীকরণ গ্রাফ করার জন্য প্রয়োজনীয় স্থানাঙ্ক দেবে।
- X এর মধ্যম মানটি "উল্লম্ব" প্যারাবোলার ক্ষেত্রে প্রতিসাম্যের অক্ষ হওয়া উচিত।
- প্রতিসাম্যের স্বার্থে টেবিলে x এর মধ্যম মানের উপরে এবং নীচে কমপক্ষে দুটি মান অন্তর্ভুক্ত করা উচিত।
- এই উদাহরণে, টেবিলের মাঝখানে প্রতিসাম্যের অক্ষের মান (x = 0) রাখুন।
ধাপ 6. সংশ্লিষ্ট y- স্থানাঙ্কগুলির মান গণনা করুন।
প্যারাবোলার সমীকরণে x এর প্রতিটি মান প্রতিস্থাপন করুন এবং y এর সংশ্লিষ্ট মানগুলি গণনা করুন। টেবিলের মধ্যে y এর এই গণনা করা মানগুলি সন্নিবেশ করান। এই উদাহরণে, y এর মানগুলি নিম্নরূপ গণনা করা হয়:
- X = -2 এর জন্য, y হিসাবে গণনা করা হয়: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- X = -1 এর জন্য, y হিসাবে গণনা করা হয়: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- X = 0 এর জন্য, y হিসাবে গণনা করা হয়: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- X = 1 এর জন্য, y হিসাবে গণনা করা হয়: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- X = 2 এর জন্য, y হিসাবে গণনা করা হয়: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
ধাপ 7. টেবিলের মধ্যে y এর গণনা করা মান সন্নিবেশ করান।
এখন আপনি প্যারাবোলার জন্য কমপক্ষে পাঁচটি সমন্বয় জোড়া খুঁজে পেয়েছেন, আপনি এটি গ্রাফ করার জন্য প্রায় প্রস্তুত। আপনার কাজের উপর ভিত্তি করে, আপনার এখন নিম্নলিখিত পয়েন্ট রয়েছে: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7)। মনে রাখবেন যে প্যারাবোলা প্রতিসাম্য অক্ষের সাথে প্রতিফলিত (প্রতিসম)। এর মানে হল যে একে অপরের থেকে প্রতিসাম্যের অক্ষ জুড়ে সরাসরি বিন্দুর y স্থানাঙ্ক একই হবে। X- স্থানাঙ্কগুলির জন্য y- স্থানাঙ্ক -2 এবং +2 উভয়ই 7; x- স্থানাঙ্ক -1 এবং +1 এর জন্য y- স্থানাঙ্ক উভয়ই 1, এবং তাই।
ধাপ 8. স্থানাঙ্ক সমতলে টেবিল পয়েন্ট প্লট করুন।
টেবিলের প্রতিটি সারি সমন্বয় সমতলে একটি সমন্বয় জোড়া (x, y) গঠন করে। সারণীতে প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে সমস্ত পয়েন্ট গ্রাফ করুন।
- X- অক্ষ অনুভূমিক; y- অক্ষ উল্লম্ব।
- Y- অক্ষে ধনাত্মক সংখ্যা বিন্দুর উপরে (0, 0), এবং y- অক্ষে negativeণাত্মক সংখ্যা বিন্দুর নিচে (0, 0)।
- X- অক্ষের ধনাত্মক সংখ্যা বিন্দুর ডানদিকে (0, 0) এবং x- অক্ষের theণাত্মক সংখ্যা বিন্দুর বামে (0, 0)।
ধাপ 9. পয়েন্ট সংযুক্ত করুন।
প্যারাবোলা গ্রাফ করতে, আগের ধাপে প্লট করা পয়েন্টগুলি সংযুক্ত করুন। এই উদাহরণের গ্রাফটি একটি U এর মত দেখাবে। সামান্য বাঁকা (সরল পরিবর্তে) লাইন ব্যবহার করে পয়েন্টগুলিকে সংযুক্ত করুন। এটি প্যারাবোলার সবচেয়ে সঠিক চিত্র তৈরি করবে (যা তার দৈর্ঘ্য জুড়ে অন্তত কিছুটা বাঁকা)। প্যারাবোলার উভয় প্রান্তে আপনি যদি চান তবে শীর্ষবিন্দু থেকে দূরে তীর আঁকতে পারেন। এটি নির্দেশ করবে যে প্যারাবোলা অনির্দিষ্টকালের জন্য অব্যাহত রয়েছে।
2 এর 2 অংশ: একটি প্যারাবোলার গ্রাফ স্থানান্তর
যদি আপনি একটি প্যারাবোলাকে তার শিরোনামটি পুনরায় খুঁজে না নিয়ে শর্টকাট করতে চান এবং এটিতে বেশ কয়েকটি পয়েন্ট পুন re-প্লট করতে চান তবে আপনাকে বুঝতে হবে কিভাবে একটি প্যারাবোলার সমীকরণ পড়তে হবে এবং এটি উল্লম্ব বা অনুভূমিকভাবে স্থানান্তর করতে শিখতে হবে। মৌলিক প্যারাবোলা দিয়ে শুরু করুন: y = x2 । এটি এর শিরোনাম (0, 0) এ আছে এবং উপরের দিকে খোলে। এর পয়েন্টগুলির মধ্যে রয়েছে (-1, 1), (1, 1), (-2, 4), এবং (2, 4)। আপনি একটি প্যারাবোলা তার সমীকরণের উপর ভিত্তি করে স্থানান্তর করতে পারেন।
পদক্ষেপ 1. একটি প্যারাবোলা উপরের দিকে সরান।
Y = x সমীকরণটি বিবেচনা করুন2 +1। এটি মূল প্যারাবোলা 1র্ধ্বমুখী 1 ইউনিটকে স্থানান্তরিত করে। শিরোনাম এখন (0, 0) এর পরিবর্তে (0, 1)। এটি মূল প্যারাবোলার সঠিক আকৃতি ধরে রাখবে, কিন্তু প্রতিটি y- কোঅর্ডিনেট 1 ইউনিটের উপরের দিকে স্থানান্তরিত হবে। সুতরাং, (-1, 1) এবং (1, 1) এর পরিবর্তে, আমরা (-1, 2) এবং (1, 2) চক্রান্ত করি।
পদক্ষেপ 2. একটি প্যারাবোলা নিচের দিকে সরান।
Y = x সমীকরণটি নিন2 -1। আমরা মূল প্যারাবোলাটি নিচের দিকে 1 ইউনিট পরিবর্তন করছি, যাতে শিরোনামটি এখন (0, -1) এর পরিবর্তে (0, 0) হয়। এটি এখনও মূল প্যারাবোলার অনুরূপ আকার ধারণ করবে, কিন্তু প্রতিটি y- স্থানাঙ্ক 1 ইউনিট নিচের দিকে স্থানান্তরিত হবে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ (-1, 1) এবং (1, 1) এর পরিবর্তে, আমরা (-1, 0) এবং (1, 0) চক্রান্ত করি।
পদক্ষেপ 3. বাম দিকে একটি প্যারাবোলা স্থানান্তর করুন।
Y = (x + 1) সমীকরণটি বিবেচনা করুন2। এটি মূল প্যারাবোলা একককে বাম দিকে স্থানান্তরিত করে। শিরোনামটি এখন (-1, 0) এর পরিবর্তে (0, 0)। এটি মূল প্যারাবোলার আকৃতি ধরে রাখে, কিন্তু প্রতিটি এক্স-কোঅর্ডিনেট বাম এক ইউনিটে স্থানান্তরিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, (-1, 1) এবং (1, 1) এর পরিবর্তে, আমরা (-2, 1) এবং (0, 1) চক্রান্ত করি।
ধাপ 4. ডানদিকে একটি প্যারাবোলা স্থানান্তর করুন।
Y = (x - 1) সমীকরণটি বিবেচনা করুন2। এটিই মূল প্যারাবোলা একটি ইউনিটকে ডানদিকে স্থানান্তরিত করেছে। শিরোনাম এখন (0, 0) এর পরিবর্তে (1, 0)। এটি মূল প্যারাবোলার আকৃতি ধরে রাখে, কিন্তু প্রতিটি এক্স-কোঅর্ডিনেট ডান এক ইউনিটে স্থানান্তরিত হবে। উদাহরণস্বরূপ, (-1, 1) এবং (1, 1) এর পরিবর্তে, আমরা (0, 1) এবং (2, 1) চক্রান্ত করি।
